Поперечная проекция гаусса. Равноугольная поперечно-цилиндрическая
Принцип и применение
Пример алгоритма перевода из географических координат в прямоугольные приведен в Викиучебнике .
В результате исследований было установлено, что оптимальные размеры территории изображения должны ограничиваться меридианами , отстоящими друг от друга на 6° (хотя в принятой в Германии первоначальной версии этой проекции меридианы отстоят на 3°). Эта фигура получила название сфероидального двуугольника . Его размеры: 180° по широте (от полюса до полюса), и 6° по долготе. Несмотря на то, что площадь зоны в проекции (зоны Гаусса) будет увеличенной, относительные искажения длин в отдалённых от среднего меридиана точках экватора на границе зоны составит 1/800. Максимальные искажения длин в пределах зоны составляет +0,14 %, а площадей - +0,27 %, а в пределах России - ещё меньше (примерно 1/1400). Таким образом, искажения длин и площадей в пределах зоны меньше, чем искажения, возникающие при печати карты за счёт деформации бумаги. Изображение зоны в проекции Гаусса практически не имеет искажений и допускает любые карто- и морфометрические работы.
Главным образом прямоугольная система координат используется в военном деле . На ней основана военная топография .
Точкой отсчёта принимается пересечение выбранного осевого меридиана с экватором . Для этого вся земная поверхность разбита на зоны ограниченные меридианами отстоящими друг от друга на 6°, с порядковой нумерацией начиная от Гринвичского меридиана на восток. Всего 60 зон. К примеру 8-я зона находится между меридианами 42° и 48° восточной долготы , а 58-я зона соответственно находится между меридианами 12° и 18° западной долготы .
Современные представления о форме и размерах Земли.
В геодезии форму Земли определяют как тело, ограниченное уровенной поверхностью. Уровенная поверхность – поверхность, которая пересекает отвесные линии под прямым углом. Идеальную фигуру, ограниченную уровенной поверхностью называют геоидом и принимают за общую фигуру Земли.Вследствие особой сложности, геометрической направленности геоида его заменяют другой фигурой – эллипсоидом, который получается от вращения эллипса вокруг его малой оси PP1. (a=6378245м; b=6356863м; сжатие a=(a-b)/a=1/298,3; R=6371,11км).
Плоские изображения участков земной поверхности.
Уменьшенное изображение на бумаге горизонтальной проекции небольшого участка местности называется планом.На плане местность изображается без заметных искажений, так как небольшой участок поверхности можно принять за плоскость.Картой называется уменьшенное изображение на бумаге горизонтальной проекции участка земной поверхности в принятой картографической проекции, то-есть, с учетом кривизны поверхности относимости. При проэктировании небольших участков земной поверхности малую часть уровенной поверхности можно заменить плоскостью. В этом случае отвесные линии параллельны между собой и горизонтальная проэкция земной поверхности преобразуется в ортогональную проекцию. Проекция линии местности на горизонтальную плоскость называется горизонтальным проложением. Формула гориз пролож(s=S*cosv). В геодезии также применяется центральная и картографическая проэкции.
Географическая система координат.
Положение точки на поверхности Земли определяется двумя координатами - широтой и долготой. Геодезическая сист коорд относится к поверхности эллипсоида вращения. Геодез широта(В) – угол между нормалью и плоскостью экватора. 0º≤В≤90º Геодез долгота (L) – угол между плоскостью начального меридиана(Гринвича) и плоскостью меридиана данной точки. Долготы изменяются от 0º до 180º, к западу от Гринвича - западные и к востоку - восточные. Все точки одного меридиана имеют одинаковую долготу. Астрономическая СК относится к поверхности сферы. Астроном широта(φ) – угол между между отвесом и плоскостью экватора. Астроном долгота (λ) – угол между плоскостью меридиана данной точки и плоскостью начального меридиана. 0º≤φ≤90º 0º≤λ≤180º
Сближение меридианов.
Угол между полуденными линиями двух точек, лежащих на одной параллели, называется сближением меридианов этих точек.γ = Δ λ * Sin(φ) Сближение меридианов двух точек, лежащих на одной широте, равно разности долгот этих точек, умноженной на синус широты.
Понятие о равноугольной поперечно-цилиндрической проекции Гаусса-Крюгера.
Сущность этой проекции заключается в следующем.
1.Земной эллипсоид меридианами разбивается на шести и трехградусные зоны. Средний меридиан называют осевым. Нумерация зон ведется на восток. Осевые меридианы лежат на внутренней поверхности цилиндра, в котором сферическая поверхность разбивается на отдельные участки(всего 60).
2.Каждая зона в отдельности конфермно проектируется на плоскость таким образом, чтобы осевой меридиан изображался прямой линией без искажений (т.е. с точным сохранением длин вдоль осевого меридиана). Экватор также изобразится прямой линией. За начало счета координат в каждой зоне принимается пересечение изображения осевого меридиана – оси абсциссе х и экватора – оси ординат у. Линии, параллельные осевому меридиану и экватору образуют прямоугольную координатную сетку.
3.Искажения длин линии в проекции Гаусса-Крюгера возрастают по мере удаления от осевого меридиана пропорционально квадрату ординаты. Эти искажения на краях шестиградусной зоны могут достигать величины порядка 1/1500 длины линии, а в трехградусной зоне 1/6000. Для отрезка с координатами конечных точек х1у1 и х2у2, формула поправки за искажение длины линии на плоскости имеет вид, где и R- средний радиус кривизны.В съемках крупного масштаба такими искажениями пренебрегать нельзя. В этом случае, при расположении участка на краю зоны, следует или учитывать искажения, или применять частную систему координат с осевым меридианом, проходящим примерно через середину участка работ.
Эта проекция была разработана немецким математиком Гауссом в 1820-30 гг. для картографирования Германии - так называемой ганноверской триангуляции. Но как истинно великий математик, он решил эту частную задачу в общем виде и сделал проекцию, пригодную для картографирования всей Земли. Математическое описание проекции было опубликовано в 1866 г. В 1912-19 гг. другой немецкий математик Крюгер провел исследование этой проекции и разработал для нее новый, более удобный математический аппарат. С этого времени проекция называется по их именам - проекцией Гаусса-Крюгера. По своему типу проекция является симметричной относительно среднего меридиана, равноугольной, равновеликой на среднем меридиане. Проекция не является строго равновеликой и имеет свойство немного завышать истинную величину площади по мере удаления от среднего меридиана. Величину искажений можно оценить аналитически.
В пределах каждой 6-градусной зоны определяется прямоугольная система координат Гаусса-Крюгера, где координаты отсчитываются в метрах от среднего меридиана зоны и от экватора. Прямоугольная система координат показана на следующем рисунке. Оси этой системы имеют обозначение: ось Y имеет направление на восток (вправо), а ось X направлена на север (вверх) вдоль среднего меридиана. Такое обозначение осей кажется немного непривычным, но так принято в геодезии. В северном полушарии координата X всегда положительна, а чтобы избежать путаницы с положительными-отрицательными значениями координаты Y при отсчете ее от среднего меридиана зоны, был принят искусственный сдвиг начала координат на 500 000 метров в западном направлении, как показано на рисунке ниже.
Чтобы сделать значения координат Гаусса-Крюгера однозначными, к координате Y дописывается слева номер зоны. В результате координаты имеют следующий вид:
Y = 7 421 350 м - 7 зона, на ~80 км западнее среднего меридиана зоны 7 ;
X = 6 177 200 м - это просто расстояние от экватора по меридиану.
Эта точка приблизительно соответствует расположению здания Центрлеспроекта в Москве. Осевой меридиан зоны 7 имеет восточную долготу 39 градусов.
Прямоугольные кординаты Гаусса-Крюгера в пределах зоны:
оси Y и X и и искусственное смещение на 500 км
Координата Y точки L 500 000
В соответствии с принятой терминалогией деление зоны на листы навывается разграфкой, а система нумерации листов - номенклатурой. Упомянутая выше точка лежит на листе топокарты масштаба 1: 1 000 000 с номенклатурным номером N-37. Разграфка и базовая номенклатура карт на территории России показана на рисунке.
Разграфка и базовая номенклатура карт масштаба 1: 1 000 000
Обратите внимание, что номера зон проекции Гаусса-Крюгера (в координатах) не совпадают с номенклатурными номерами тех же зон (на картах), величина сдвига равна 30. Зоны принято отсчитывать от Гринвича, в номенклатурные номера - от линии перемены дат.
Для определения номенклатур топокарт на заданную территорию выпускаются так называемые бланковые карты в географической проекции (прямоугольная сетка параллелей и меридианов). По краям карты проставлены номера зон и буквы широтных полос, как на приведеной выше карте, а сетка соответствует листам карт более крупных масштабов. Карты обычно охватывают определенный диапазон масштабов, например, от 1: 1 000 000 до 1: 100 000.
Система координат в равноугольной проекции, которую теперь называют проекцией Гаусса - Крюгера, была введена выдающимся немецким ученым Карлом Фридрихом Гауссом для работки ганноверской триангуляции (1821 -1825). В 1912 и 1919 гг. ее развил немецкий геодезист Л. Крюгер. С тех пор она стала называться проекцией Гаусса-Крюгера.
Проекция Гаусса - Крюгера не имеет геометрической интерпретации. Она получена аналитически путем разложения комплексной функции от изометрических координат в степенной ряд. Проекция Гаусса - Крюгера определяется тремя условиями: она равноугольная, сохраняет длины на среднем меридиане и симметрична относительно среднего меридиана и экватора. По составу она является поперечной цилиндрической проекцией. Цилиндр касается среднего меридиана зоны, и на этот цилиндр проектируется вся зона при соблюдении перечисленных выше трех условий.
В проекции Гаусса-Крюгера поверхность земного эллипсоида делится на трёх- или шестиградусные зоны, ограниченные меридианами от полюса до полюса. Всего 60 шестиградусных или 120 трёхградусных зон. Они нумеруются с запада на восток, начиная с нулевого меридиана, так, что к меридиану Гринвича с запада примыкает 60-я (120-я) зона, а с востока - 1-я зона. В каждой зоне строится своя прямоугольная система координат. Начало координат каждой зоны находится в точке пересечения экватора со средним (осевым) меридианом зоны, который изображается на проекции прямой линией и является осью абсцисс. Абсциссы считаются положительными к северу от экватора и отрицательными к югу. Осью ординат является экватор. Ординаты положительны к востоку и отрицательны к западу от осевого меридиана. При вычислениях начало координат переносят в точку пересечения осевого меридиана со средней параллельностью карты. Для получения ординат положительного значения их увеличивают на 500000 м. Перед ординатой пишется номер зоны.
Такой выбор координатных осей позволяет, во-первых, наряду с прямоугольной системой координат использовать полярную систему координат, сохраняя в силе весь математический аппарат, где обычно ось X ориентирована направо (на восток), а ось Y - вверх (на север), и, во-вторых, сохранять у людей привычку ориентироваться относительно направления на север.
В проекции Гаусса-Крюгера масштаб изображения вдоль осевого меридиана mo сохраняется и равен 1. Это видно из формулы (1)
|
где Х - длина дуги меридиана от начала прямоугольных координат до данной точки
φ - широта точки
λ - долгота точки
Л. Крюгер предложил умножить координаты х, у на некоторый множитель < 1 для того, чтобы искажения длин на краях зоны уменьшить в два раза. Это реализовано в проекции UTM, используемой в США, в которой на осевом меридиане частный масштаб длин m0 = 0,9996, в результате чего в проекции образуются две параллельные линии нулевых искажений, расположенные на расстоянии около 180 км по обе стороны от него. На границе зон в южных широтах частный масштаб длин приблизительно равен 1,0003.
В России для топографических карт масштаба 1: 1000000 применяют шестиградусные зоны. Неудобства возникают на стыке двух соседних зон. На топографических картах западной зоны одна система координат, а на соседних листах карт восточной зоны -другая. Поэтому на стыках зон предусмотрены перекрытия: западная зона расширена на восток, а восточная - на запад. Этим предоставляется возможность на стыке зон пользоваться картами в системе координат только одной зоны. Перекрытия смежных зон до широты 28° охватывают полосу шириной по долготе на 1°, на широтах от 28° до 76° - на 2° и на широтах более 76° - на 3°.
Для топографических планов масштаба 1: 5000 и 1: 2000 применяются трехградусные зоны, осевые меридианы которых совпадают с осевыми и граничными меридианами шестиградусных зон. При съемках городов и территорий под строительство крупных инженерных сооружений могут быть использованы частные зоны с осевым меридианом посередине объекта.
Таким образом, представляется аргументированным вывод, что проекция Гаусса-Крюгера имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, она объединяет такие положительные качества, как небольшое число зон, каждая из которых охватывает значительную территорию, ограниченную двумя меридианами с разностью долгот в 3° или 6°; умеренное и легко учитываемое изменение масштабов в пределах зон; единообразие всех зон; универсальность и глобальность координатных систем. С другой стороны, проекция Гаусса-Крюгера имеет и значительные недостатки. К ним, прежде всего, относятся отсутствие единой системы координат, вследствие чего при моделировании объектов, расположенных в нескольких зонах, возникают определенные проблемы, а также высокие искажения на краях зон.
При выполнении некоторых специальных навигационных задач проекция Меркатора, имеющая основными координатными линиями меридианы и параллели, оказывается недостаточно удобной. Так, например, чтобы вычислить географические координаты какой-либо точки для нанесения ее на карту, приходится прибегать к трудоемким и сложным формулам, затрачивая на вычисление много времени. Значительно проще такого рода задачи решаются с использованием прямоугольных координат вместо географических. Замена географических координат прямоугольными позволяет производить расчеты по несложным формулам плоской тригонометрии. Непрерывное изменение масштаба на карте в проекции Меркатора также представляет известное неудобство, так как пределы полосы с практически постоянным масштабом весьма ограничены. На практике нередко бывает удобнее иметь карту с незначительными искажениями длин и площадей, а также с масштабом, который можно практически принимать постоянным в пределах всего листа карты. Так, при выполнении ряда работ, требующих высокой точности, целесообразно применять проекцию, на плоскости которой изображение строится как план, где измеренные углы и расстояния переносятся на планшет без исправления поправками за искажение проекции. Для обеспечения этого требования проекция должна иметь малые искажения длин, не превышающие ошибок графических построений на планшете (0,2 мм). Измеренным на местности сферическим углам должны соответствовать на карте плоские углы с ничтожно малыми их искажениями.
Таким образом, основным требованием, предъявляемым к проекции, используемой для составления топографических карг, различных планшетов и для обработки триангуляции, является небольшая величина искажений углов и длин и простота их учета. Такой проекцией является картографическая проекция, предложенная в начале XIX в. известным немецким ученым Гауссом. Проекция Гаусса по свойству изображения является равноугольной, а по способу построения картографической сетки -- поперечной цилиндрической проекцией эллипсоида. Принципиально проекция/Гаусса может быть также получена путем проектирования шара, представляющего равноугольную проекцию эллипсоида, на боковую поверхность касательного цилиндра, ось которого лежит в плоскости экватора.
Нормальной системой координат проекции Гаусса, является система сферических (сфероидических) прямоугольных координат X, У, экватором которой служит средний меридиан картографируемой зоны, а начальным меридианом -- земной экватор.
Средний меридиан, выполняющий роль экватора нормальной системы координат проекции Гаусса, называется осевым меридианом. Картографическая проекция Гаусса постановлением Геодезического комитета Госплана СССР в 1928 г. принята основной для выполнения топографических и триангуляционных работ. Этим же постановлением для всей территории СССР введена единая система прямоугольных координат.
