Скоростью точки называется вектор, определяющий в каждый данный момент времени быстроту и направление движения точки.

Скорость равномерного движения определяется отношением пути, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени.

Скорость; S- путь; t- время.

Измеряется скорость в единицах длины, деленных на единицу времени: м/с; см/с; км/ч и т.д.

В случае прямолинейного движения вектор скорости направлен вдоль траектории в сторону ее движения.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то данное движение называется неравномерным. Скорость является величиной переменной и является функцией времени.

Средней за данный промежуток времени скоростью точки называется скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором точка за этот промежуток времени получила бы то же самое перемещение, как и в рассматриваемом ее движении.

Рассмотрим точку М, которая перемещается по криволинейной траектории, заданной законом

За промежуток времени?t точка М переместится в положение М 1 по дуге ММ 1 .Если промежуток времени?t мал, то дугу ММ 1 можно заменить хордой и в первом приближении найти среднюю скорость движения точки

Эта скорость направлена по хорде от точки М к точке М 1 . Истинную скорость найдем путем перехода к пределу при?t> 0

Когда?t> 0, направление хорды в пределе совпадает c направлением касательной к траектории в точке М.

Таким образом, величина скорости точки определяется как предел отношения приращения пути к соответствующему промежутку времени при стремлении последнего к нулю. Направление скорости совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Ускорение точки

Отметим, что в общем случае, при движении по криволинейной траектории скорость точки изменяется и по направлению и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением. Другими словами, ускорением точки называется величина, характеризующая быстроту изменения скорости во времени. Если за интервал времени?t скорость изменяется на величину,то среднее ускорение

Истинным ускорением точки в данный момент времени t называется величина, к которой стремится среднее ускорение при?t> 0, то есть

При отрезке времени стремящимся к нулю вектор ускорения будет меняться и по величине и по направлению, стремясь к своему пределу.

Размерность ускорения

Ускорение может выражаться в м/с 2 ; см/с 2 и т.д.

В общем случае, когда движение точки задано естественным способом, вектор ускорения обычно раскладывают на две составляющие, направленные по касательной и по нормали к траектории точки.

Тогда ускорение точки в момент t можно представить так

Обозначим составляющие пределы через и.

Направление вектора не зависит от величины промежутка?t времени.

Это ускорение всегда совпадает с направлением скорости, то есть, направлено по касательной к траектории движения точки и поэтому называется касательным или тангенциальным ускорением.

Вторая составляющая ускорения точки направлена перпендикулярно к касательной к траектории в данной точке в сторону вогнутости кривой и влияет на изменение направления вектора скорости. Эта составляющая ускорения носит название нормального ускорения.

Поскольку численное значение вектора равно приращению скорости точки за рассматриваемый промежуток?t времени, то численное значение касательного ускорения

Численное значение касательного ускорения точки равно производной по времени от численной величины скорости. Численное значение нормального ускорения точки равно квадрату скорости точки, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке кривой

Полное ускорение при неравномерном криволинейном движении точки складывается геометрически из касательного и нормального ускорений.

Пусть движение точки М задано векторным способом, то есть задан радиус-вектор точки как функция времени

Линия, описываемая концом переменного вектора, начало которого находится в заданной неподвижной точке, называется годографом этого вектора. Отсюда и из определения траектории следует правило: траектория точки есть годограф ее радиуса-вектора.

Пусть в некоторый момент t точка занимает положение М и имеет радиус-вектор , а в момент - положение и радиус-вектор (рис. 78).

Вектор , соединяющий последовательные положения точки в указанные

моменты, называется вектором перемещения точки за время . Вектор перемещения следующим образом выражается через значения вектор-функции (5):

Если вектор перемещения поделить на величину промежутка , получим вектор средней скорости точки за время

Будем теперь уменьшать промежуток , устремляя его к нулю. Предел, к которому стремится вектор средней скорости при неограниченном уменьшении промежутка , называется скоростью точки в момент t или просто скоростью точки 0. В соответствии со сказанным для скорости получаем:

Итак, вектор скорости точки равен производной по времени от ее радиуса-вектора:

Поскольку секущая в пределе (при ) переходит в касательную , приходим к выводу, что вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

В общем случае скорость точки также переменна, и можно интересоваться быстротой изменения скорости. Скорость изменения скорости называется ускорением точки.

Для определения ускорения а выберем какую-либо неподвижную точку А и будем откладывать из нее вектор скорости и в различные моменты времени.

Линия, которую опишет конец N вектора скорости, представляет собой годограф скорости (рис. 79). Изменение вектора скорости выражается в том, что геометрическая точка N движется по годографу скорости, а скорость этого движения служит, по определению, ускорением точки М.

Введем единичный вектор τ, связанный с движущейся точкой A и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты (рис. 1.6). Очевидно, что τ - переменный вектор: он зависит от l. Вектор скорости v точки A направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так

где v τ =dl/dt - проекция вектора v на направление вектора τ, причем v τ - величина алгебраическая. Кроме того, |v τ |=|v|=v.

Ускорение точки

Продифференцируем (1.22) по времени

(1.23)

Преобразуем последний член этого выражения

(1.24)

Определим приращение вектора τ на dl (рис. 1.7).

Как видно из рис. 1.7, угол , откуда , причем при .

Введя единичный вектор n нормали к траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде

Подставим (1.23) в (1.24) и полученное выражение в (1.22). В результате найдем

(1.26)

Здесь первое слагаемое называют тангенциальным a τ , второе - нормальным a n .

Таким образом, полное ускорение a точки может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорений.

Модуль полного ускорения точки

(1.27)

Направлено оно в сторону вогнутости траектории под углом α к вектору скорости, причем .

Если угол α острый, то tgα>0, следовательно, dv/dt>0, так как v 2 /R>0 всегда.

В данном случае величина скорости возрастает с течением времени - движение называют ускоренным (рис. 1.8).

В том случае, когда скорость с течением времени уменьшается по величине, движение называется замедленным (рис. 1.9).

Если же угол α=90°, tgα=∞, то есть dv/dt=0. В этом случае скорость с течением времени по величине не изменяется, а полное ускорение будет равно центростремительному

(1.28)

В частности, полное ускорение равномерного вращательного движения (R=const, v=const) есть центростремительное ускорение, по величине равное a n =v 2 /R и направленное все время к центру.

При прямолинейном движении, наоборот, полное ускорение тела равно тангенциальному. В данном случае a n =0, так как прямолинейную траекторию можно считать окружностью бесконечно большого радиуса, а при R→∞; v 2 /R=0; a n =0; a=a τ .

Формулы скорости (ускорения) точек твердого тела, выраженные через скорость (ускорение) полюса и угловую скорость (ускорение). Вывод этих формул из принципа, что расстояния между любыми точками тела, при его движении, остаются постоянными.

Основные формулы

Скорость и ускорение точки твердого тела с радиус вектором определяются по формулам:
;
.
где - угловая скорость вращения, - угловое ускорение. Они равны для всех точек тела и могут изменяться со временем t .
и - скорость и ускорение произвольным образом выбранной точки A с радиус вектором . Такую точку часто называют полюсом.
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Вывод формулы для скорости

Выберем прямоугольную неподвижную систему координат Oxyz . Возьмем две произвольные точки твердого тела A и B . Пусть (x A , y A , z A ) и (x B , y B , z B ) - координаты этих точек. При движении твердого тела они являются функциями от времени t . Их производные по времени t являются проекциями скоростей точек:
, .

Воспользуемся тем, что при движении твердого тела, расстояние | AB| между точками остается постоянным, то есть не изменяется со временем t . Также постоянным является квадрат расстояния
.
Продифференцируем это уравнение по времени t , применяя правило дифференцирования сложной функции.

Сократим на 2 .
(1)

Введем векторы
,
.
Тогда уравнение (1) можно представить в виде скалярного произведения векторов:
(2) .
Отсюда следует, что вектор перпендикулярен вектору . Воспользуемся свойством векторного произведения. Тогда можно представить в виде:
(3) .
где - некоторый вектор, который мы вводим только для того, чтобы автоматически выполнялось условие (2) .
Запишем (3) в виде:
(4) ,

Теперь займемся изучением свойств вектора . Для этого составим уравнение, которое не содержит скоростей точек. Возьмем три произвольные точки твердого тела A, B и C . Запишем для каждой пары этих точек уравнение (4) :
;
;
.
Сложим эти уравнения:

.
Сокращаем сумму скоростей в левой и правой части. В результате получаем векторное уравнение, содержащее только исследуемые векторы :
(5) .

Легко заметить, что уравнение (5) имеет решение:
,
где - какой-то вектор, имеющий равное значение для любых пар точек твердого тела. Тогда уравнение (4) для скоростей точек тела примет вид:
(6) .

Теперь рассмотрим уравнение (5) с математической точки зрения . Если записать это векторное уравнение по компонентам на оси координат x, y, z , то векторное уравнение (5) является линейной системой, состоящей из 3-ех уравнений с 9-ю переменными:
ω BAx , ω BAy , ω BAz , ω CBx , ω CBy , ω CBz , ω ACx , ω ACy , ω ACz .
Если уравнения системы (5) линейно не зависимы, то их общее решение содержит 9 - 3 = 6 произвольных постоянных. Поэтому мы нашли не все решения. Существуют еще какие-то. Чтобы их найти замечаем, что найденное нами решение полностью определяет вектор скорости . Поэтому дополнительные решения не должны приводить к изменению скорости. Заметим, что векторное произведение двух равных векторов равно нулю. Тогда, если в (6) к вектору прибавить член, пропорциональный , то скорость не изменится:


.

Тогда общее решение системы (5) имеет вид:
;
;
,
где C BA , C CB , C AC - постоянные.

Выпишем общее решение системы (5) в явном виде.
ω BAx = ω x + C BA (x B - x A )
ω BAy = ω y + C BA (y B - y A )
ω BAz = ω z + C BA (z B - z A )
ω CBx = ω x + C CB (x C - x B )
ω CBy = ω y + C CB (y C - y B )
ω CBz = ω z + C CB (z C - z B )
ω ACx = ω x + C AC (x A - x C )
ω ACy = ω y + C AC (y A - y C )
ω ACz = ω z + C AC (z A - z C )
Это решение содержит 6 произвольных постоянных:
ω x , ω y , ω z , C BA , C CB , C AC .
Как и должно быть. Таким образом, мы нашли все члены общего решения системы (5) .

Физический смысл вектора ω

Как уже указывалось, члены вида не влияют на значения скоростей точек. Поэтому их можно опустить. Тогда скорости точек твердого тела связаны соотношением:
(6) .

Это вектор угловой скорости твердого тела

Выясним физический смысл вектора .
Для этого положим v A = 0 . Это всегда можно сделать если выбрать систему отсчета, которая в рассматриваемый момент времени движется относительно неподвижной системы со скоростью . Начало системы отсчета O поместим в точку A . Тогда r A = 0 . И формула (6) примет вид:
.
Ось z системы координат направим вдоль вектора .
По свойству векторного произведения, вектор скорости перпендикулярен векторам и . То есть он параллелен плоскости xy . Модуль вектора скорости:
v B = ω r B sin θ = ω |HB| ,
где θ - это угол между векторами и ,
|HB| - это длина перпендикуляра, опущенного из точки B на ось z .

Если вектор не меняется со временем, то точка B движется по окружности радиуса |HB| со скоростью
v B = |HB| ω .
То есть ω - это угловая скорость вращения точки B вокруг точки H .
Таким образом, мы приходим к выводу, что - это вектор мгновенной угловой скорости вращения твердого тела .

Скорость точек твердого тела

Итак, мы нашли, что скорость произвольной точки B твердого тела определяется по формуле:
(6) .
Она равна сумме двух членов. Точку A часто называют полюсом . В качестве полюса обычно выбирают неподвижную точку или точку, совершающую движение с известной скоростью. Второй член представляет собой скорость вращения точек тела относительно полюса A .

Поскольку точка B - это произвольная точка, то в формуле (6) можно сделать подстановку . Тогда и скорость точки твердого тела с радиус вектором определяются по формуле:
.
Скорость произвольной точки твердого тела равна сумме скорости поступательного движения полюса A и скорости вращательного движения относительно полюса A .

Ускорение точек твердого тела

Теперь выведем формулу для ускорения точек твердого тела. Ускорение - это производная скорости по времени. Дифференцируем формулу для скорости
,
применяя правила дифференцирования суммы и произведения:
.
Вводим ускорение точки A
;
и угловое ускорение тела
.
Далее замечаем, что
.
Тогда
.
Или
.

То есть вектор ускорения точек твердого тела можно представить в виде суммы трех векторов:
,
где
- ускорение произвольно выбранной точки, которую часто называют полюсом ;
- вращательное ускорение ;
- осестремительное ускорение .

Если угловая скорость изменяется только по величине и не изменяется по направлению, то векторы угловой скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой. Тогда направление вращательного ускорения совпадает или противоположно направлению скорости точки. Если угловая скорость изменяется по направлению, то вращательное ускорение и скорость могут иметь разные направления.

Осестремительное ускорение всегда направлено в сторону мгновенной оси вращения так, что пересекает ее под прямым углом.

Основными задачами кинематики точки являются:

1. Описание способов задания движения точки.

2. Определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения) по заданному закону движения.

Механическое движение − изменение положения одного тела относительно другого (тела отсчета), с которым связана система координат, называемая системой отсчета .

Геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траектория точки.

Задать движение − это дать способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета. К основным способам задания движения точки относятся:

векторный, координатный и естественный .

1.Векторный способ задания движения (рис. 1).

Положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки, связанной с телом отсчета: − векторное уравнение движения точки.

2.Координатный способ задания движения (рис. 2).

В этом случае задаются координаты точки как функции времени:

- уравнения движения точки в координатной форме.

Это и параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них . В случае пространственной траектории, исключив , получим:

В случае плоской траектории

исключив , получим:

Или .

3. Естественный способ задания движения (рис. 3).

В этом случае задаются:

1)траектория точки,

2)начало отсчета на траектории,

3) положительное направление отсчета,

4)закон изменения дуговой координаты: .

Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна.

2. Скорость и ускорение точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени (рис. 4):

Тогда − средняя скорость точки за промежуток времени .

Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при :

Скорость точки − это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Среднее ускорениехарактеризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени (рис. 5).

Ускорение точки в данный момент времени находится как предел среднего ускорения при :

Ускорение точки − это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точки по времени .

Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по величине и направлению. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории.

3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением

(рис. 6).

Из определения скорости:

Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени

, , . .

Модуль и направление скорости определяются выражениями:

Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по времени

Из определения ускорения:

Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени:

, , .

Модуль и направление ускорения определяются выражениями:

, , .

4 Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

4.1 Естественные оси.

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения

Естественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) − это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Их положение определяется траекторией движения. Касательная (с единичным вектором ) направлена по касательной в положительном направлении отсчета дуговой координаты и находится как предельное положение секущей, проходящей через данную точку (рис.9). Через касательную проходит соприкасающаяся плоскость (рис. 10), которая находится как предельное положение плоскости p при стремлении точки M1 к точке M. Нормальная плоскость перпендикулярна касательной. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей − главная нормаль. Единичный вектор главной нормали направлен в сторону вогнутости траектории. Бинормаль (с единичным вектором ) направлена перпендикулярно касательной и главной нормали так, что орты , и образуют правую тройку векторов. Координатные плоскости введенной подвижной системы координат (соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественный трехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, как твердое тело. Его движение в пространстве определяется траекторией и законом изменения дуговой координаты.

Из определения скорости точки

где , − единичный вектор касательной.

Тогда

, .

Алгебраическая скорость − проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.

Из определения ускорения

− переменный по направлению вектор и

Производная определяется только видом траектории в окрестности данной точки, при этом, вводя в рассмотрение угол поворота касательной, имеем , где − единичный вектор главной нормали, − кривизна траектории, − радиус кривизны траектории в данной точке.

Главная » База знаний » Кинематика материальной точки. Определение траектории, скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения Найти скорость и ускорение точки d